Como extrair a raiz quadrada de um número

Extrair a raiz quadrada de um número inteiro A não negativo é obter um outro número real r tal que r²=A. Se a igualdade não é possível, pelo menos esperamos que r² seja um número menor do que A e próximo de A.

Apresentaremos o processo para extrair a raiz quadrada de A=127599 para implementar um processo geral.

1. Tome uma folha de papel, trace uma linha vertical e outra horizontal para obter 4 quadrantes. O número A é posto no canto superior esquerdo e a raiz aparecerá no canto superior direito.

2.  127599              | Canto Sup. Direito

3.  ------------------- | ------------------

4.  Canto Inf. Esquerdo | Canto Inf. Direito

5. Decompomos o número inteiro A em classes de dois algarismos da direita para a esquerda.

6.  12.75.99 | ........

7.  -------- | --------

8.  ........ | ........

9. Ordenamos as classes da esquerda para a direita com os valores das classes indicados por C1, C2, C3, ...

10.C1.C2.C3 | ........

11.-------- | --------

12......... | ........

Neste exemplo: C1=12, C2=75 e C3=99.

13. C1 poderá ter um ou dois algarismos (neste caso tem 2) e os valores de todas as classes serão menores do que 100.

14.12.75.99 | ........

15.-------- | --------

16......... | ........

17. Quais são os números inteiros positivos B que elevados ao quadrado são menores ou iguais que C1=12? Os valores possíveis para B são 0, 1, 2 ou 3.
18. O maior número inteiro com esta propriedade é B=3. Colocamos 3 no canto superior direito.

19.12.75.99 | 3.......

20.-------- | --------

21......... | ........

22. Colocamos B²=3²=9 em baixo de C1

23.12.75.99 | 3.......

24.-------- | --------

25..9...... | ........

26. Realizamos a diferença D=C1-B²=3, pondo este último valor abaixo de uma nova linha.

27.12.75.99 | 3.......

28.-------- | --------

29..9...... | ........

30.-------- |

31..3...... |

32. Baixamos a classe C2=75 até a linha onde está a diferença D=3.

33.12.75.99 | 3.......

34.-------- | --------

35..9...... | ........

36.-------- |

37..3.75... |

38. Reunimos D=3 com C2=75 para formar o número E=375.

39.12.75.99 | 3.......

40.-------------------

41..9...... | ........

42.-------- |

43...375... |

44. Colocamos 2B (dobro de B=3) no canto inferior direito.

45.12.75.99 | 3.......

46.-------- | --------

47..9...... | 6.......

48.-------- |

49...375... |

50. A divisão inteira de E=375 por 6=2B ainda deve ser dividida por 10 para obtermos o próximo algarismo F no processo. O 10 indica que este é o dígito das dezenas para a raiz quadrada. Dessa forma, F=E÷(20B)=375÷60= 6
51. F=6 ficará à direita de B=3 no canto superior direito, à direita de 2B no canto inferior direito e em baixo deste último número no canto inferior direito com um sinal de multiplicação.

52.12.75.99 | 36.......

53.-------- | ---------

54..9...... | 66x6=....

55.-------- |

56...375... |

57. Multiplicamos os números do canto inferior direito.

58.12.75.99 | 36.......

59.-------- | ---------

60..9...... | 66x6=376.

61.-------- |

62...375... |

63. Como o produto é maior do que o número 375 que está no canto inferior esquerdo, repetimos este passo com F-1 no lugar de F.

64.12.75.99 | 35.......

65.-------- | ---------

66..9...... | 65x5=325.

67.-------- |

68...375... |

69. Com F-1 no lugar de F obtemos um novo produto G=325 que agora é menor do que E=375. Devemos diminuir de 1 em 1 o número F até que G seja menor ou igual que E.
70. Após obter o F=5 adequado, pomos o número formado pelos dígitos B e F no canto superior direito e o número G em baixo de E, para obter a diferença H=E-G=50.

71.12.75.99 | 35.......

72.-------- | ---------

73..9...... | 65x5=325.

74.-------- |

75...375... |

76...325... |

77.-------- |

78....50... |

79. Baixamos a próxima classe C3=99 até a linha que contém a diferença H=50.

80.12.75.99 | 35.......

81.-------- | ---------

82..9...... | 65x5=325.

83.-------- |

84...375... |

85...325... |

86.-------- |

87....50.99 |

88. Formamos agora um novo número I=5099 e tomamos BF=35.

89.12.75.99 | 35.......

90.-------- | ---------

91..9...... | 65x5=325.

92.-------- |

93...375... |

94...325... |

95.-------- |

96.....5099 |

97. No canto inferior direito, em baixo do produto 65x5=325, colocamos o dobro de BF, que é 70.

98.12.75.99 | 35.......

99.-------- | ---------

100. .9...... | 65x5=325

101. -------- | 70

102. ..375... |

103. ..325... |

104. -------- |

105. ....5099 |

106. Como já é a segunda vez que realizamos esta operação, devemos realizar a divisão inteira de I=5099 por 20BF=700 para obter J=I÷(20BF)=5099÷700=7. O número J=7 será posto à direita de BF, à direita do dobro de BF e em baixo deste último número, no canto inferior direito.

107. 12.75.99 | 357......

108. -------- | ---------

109. .9...... | 65x5=325

110. -------- | 707x7=

111. ..375... |

112. ..325... |

113. -------- |

114. ....5099 |

115. Multiplicamos J=7 pelo número K=707 formado por 2BF e J.

116. 12.75.99 | 357.......

117. -------- | ----------

118. .9...... | 65x5 = 325

119. -------- | 707x7=4949

120. ..375... |

121. ..325... |

122. -------- |

123. ....5099 |

124. Verificamos que este produto L=4949 é menor do que I=5099. Se não for menor, trocamos J por J-1 e repetimos este passo.
125. Realizamos a diferença M=I-L=5099-4949=150. Nesse momento, você deverá estar com o número formado pelos dígitos B, F e J no canto superior direito. Este é o número representa a raiz quadrada que você está procurando!

126. 12.75.99 | 357.......

127. -------- | ----------

128. .9...... | 65x5 = 325

129. -------- | 707x7=4949

130. ..375... |

131. ..325... |

132. -------- |

133. ....5099 |

134. ....4949 |

135. -------- |

136. .....150 |

137. Observamos que o número BFJ=357 é o maior número inteiro positivo que elevado ao quadrado ainda é menor do que 127599, mas podemos melhorar a precisão do cálculo para a raiz quadrada, obtendo o próximo número decimal após BFJ.
138. Como zeros depois da vírgula não têm significado, podemos acrescentar uma "nova" classe C4=00 após a classe C3, com o cuidado de inserir uma vírgula no lugar do ponto separador e uma outra vírgula após o número BFJ.

139. 12.75.99,00 | 357,......

140. ----------- | ----------

141. .9...... .. | 65x5 = 325

142. ----------- | 707x7=4949

143. ..375... .. |

144. ..325... .. |

145. ----------- |

146. ....5099 .. |

147. ....4949 .. |

148. ----------- |

149. .....150 .. |

150. Baixamos a classe 00 até a linha contendo a diferença e realizamos a junção destes dois números. Colocamos o dobro de BFJ no canto inferior direito, esquecendo da vírgula e considerando este número como um número inteiro.

151. 12.75.99,00 | 357,......

152. ----------- | ----------

153. .9...... .. | 65x5 = 325

154. ----------- | 707x7=4949

155. ..375... .. | 714

156. ..325... .. |

157. ----------- |

158. ....5099 .. |

159. ....4949 .. |

160. ----------- |

161. ......15000 |

162. No canto inferior direito, em baixo dos dois produtos, pomos um algarismo N adequado (neste caso N=2, pois este é o maior algarismo que serve aos nossos propósitos), na frente de 2(BFJ) e formamos um produto como o que está indicado abaixo. Realizamos este último produto.

163. 12.75.99,00 | 357,2.......

164. ----------- | ------------

165. .9...... .. | 65 x 5 = 325

166. ----------- | 707x7 = 4949

167. ..375... .. | 7142x2=14284

168. ..325... .. |

169. ----------- |

170. ....5099 .. |

171. ....4949 .. |

172. ----------- |

173. ......15000 |

174. Realizamos a diferença

175. 12.75.99,00 | 357,2.......

176. ----------- | ------------

177. .9...... .. | 65 x 5 = 325

178. ----------- | 707x7 = 4949

179. ..375... .. | 7142x2=14284

180. ..325... .. |

181. ----------- |

182. ....5099 .. |

183. ....4949 .. |

184. ----------- |

185. ......15000 |

186. ......14284 |

187. ----------- |

188. ........716 |

189. Podemos continuar o processo inserindo novas classes 00 para obter resultados mais precisos. Afirmamos então que, a raiz quadrada de 127.599 é aproximadamente igual a 357,21, pois:

(357,21)² ~ 127.598,9841

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